Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 2 (a + 1) x + 3 a + 2 = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + (- 2 a - 2 \cdot 1) x + 3 a + 2 = 0$

Этап 1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x^{2} + (- 2 a - 2) x + 3 a + 2 = 0$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - 2 a x - 2 x + 3 a + 2 = 0$

Этап 2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2 a - 2$ и $c = 3 a + 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- 2 a - 2) \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (- 2 a) + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (3 a + 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.4

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{{(- 2 a - 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5

Пусть $u = 1 \cdot (3 a + 2)$ . Подставим $u$ вместо $1 \cdot (3 a + 2)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Перепишем ${(- 2 a - 2)}^{2}$ в виде $(- 2 a - 2) (- 2 a - 2)$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{(- 2 a - 2) (- 2 a - 2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2

Развернем $(- 2 a - 2) (- 2 a - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 a (- 2 a - 2) - 2 (- 2 a - 2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 a (- 2 a) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a - 2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 a (- 2 a) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 a \cdot a) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.3.1.2.1

Перенесем $a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (a \cdot a)) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 a^{2}) - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} - 2 a \cdot - 2 - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.1.4

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 4 a - 2 (- 2 a) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 4 a - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 4 a + 4 a + 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.5.3.2

Добавим $4 a$ и $4 a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{2} + 8 a + 4 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 a^{2}$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 8 a + 4 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8 a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 4 (2 a) + 4 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.3

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 4 (2 a) + 4 (1) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2}) + 4 (2 a) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2}) + 4 (2 a)$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2} + 2 a) + 4 (1)$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (a^{2} + 2 a + 1) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - u)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $1 \cdot (3 a + 2)$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - (1 \cdot (3 a + 2)))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Умножим $3 a + 2$ на $1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - (3 a + 2))}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - (3 a) - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.1.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - 3 a - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} + 2 a + 1 - 3 a - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.2

Вычтем $3 a$ из $2 a$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} - a + 1 - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.8.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{4 (a^{2} - a - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm \sqrt{2^{2} (a^{2} - a - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 a + 2 \pm 2 \sqrt{a^{2} - a - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 a + 2 \pm 2 \sqrt{a^{2} - a - 1}}{2}$

Этап 5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = a + 1 + \sqrt{a^{2} - a - 1}$

$x = a + 1 - \sqrt{a^{2} - a - 1}$