Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 7 x^{2} - 21 x - 27 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$x^{3} - 27 + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Этап 1.2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$x^{3} - 3^{3} + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2}) + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2}) + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Этап 1.4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x^{2} - 21 x = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{2} - 21 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x) - 21 x = 0$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $7 x$ из $- 21 x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x) + 7 x (- 3) = 0$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $7 x$ из $7 x (x) + 7 x (- 3)$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x - 3) = 0$

Этап 1.6

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 7 x (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x - 3$ из $7 x (x - 3)$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + (x - 3) (7 x) = 0$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $x - 3$ из $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + (x - 3) (7 x)$ .

$(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9 + 7 x) = 0$

Этап 1.7

Добавим $3 x$ и $7 x$ .

$(x - 3) (x^{2} + 10 x + 9) = 0$

Этап 1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Разложим $x^{2} + 10 x + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $10$ .

$1, 9$

Этап 1.8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) ((x + 1) (x + 9)) = 0$

Этап 1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 3) (x + 1) (x + 9) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 9 = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем $x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 9$ к $0$ .

$x + 9 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x = - 9$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) (x + 9) = 0$ верно.

$x = 3, - 1, - 9$