Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} = - 16 x$

Этап 1

Добавим $16 x$ к обеим частям уравнения.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$x \cdot x^{3} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} + x (4 x^{2}) + 4 x^{2} + 16 x = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{2}$ .

$x \cdot x^{3} + x (4 x^{2}) + x (4 x) + 16 x = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $16 x$ .

$x \cdot x^{3} + x (4 x^{2}) + x (4 x) + x \cdot 16 = 0$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (4 x^{2})$ .

$x (x^{3} + 4 x^{2}) + x (4 x) + x \cdot 16 = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} + 4 x^{2}) + x (4 x)$ .

$x (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x) + x \cdot 16 = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x) + x \cdot 16$ .

$x (x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Этап 2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((x^{3} + 4 x^{2}) + 4 x + 16) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x^{2} (x + 4) + 4 (x + 4)) = 0$

Этап 2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 4$ .

$x ((x + 4) (x^{2} + 4)) = 0$

Этап 2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 4) (x^{2} + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 6.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 6.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 4) (x^{2} + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4, 2 i, - 2 i$