Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - x^{2} = 14 x^{2} + 16$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $14 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - x^{2} - 14 x^{2} = 16$

Этап 1.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$x^{4} - x^{2} - 14 x^{2} - 16 = 0$

Этап 2

Вычтем $14 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{4} - 15 x^{2} - 16 = 0$

Этап 3

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$u^{2} - 15 u - 16 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 4

Разложим $u^{2} - 15 u - 16$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 16$ , а сумма — $- 15$ .

$- 16, 1$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u + 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 16 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $u - 16$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $u - 16$ к $0$ .

$u - 16 = 0$

Этап 6.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$u = 16$

Этап 7

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 7.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 16) (u + 1) = 0$ верно.

$u = 16, - 1$

Этап 9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 16$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Этап 10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 16$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 11.2

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 11.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Этап 13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 1$

Этап 13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 13.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 14

Решением $x^{4} - 15 x^{2} - 16 = 0$ является $x = 4, - 4, i, - i$ .

$x = 4, - 4, i, - i$