Основы мат. анализа Примеры

x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0

$x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0$

Этап 1

Подставим

u = x^{2}

$u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

u^{2} - 3 u - 28 = 0

$u^{2} - 3 u - 28 = 0$

u = x^{2}

$u = x^{2}$

Этап 2

Разложим

u^{2} - 3 u - 28

$u^{2} - 3 u - 28$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Рассмотрим форму

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно

c

$c$ , а сумма —

b

$b$ . В данном случае произведение чисел равно

- 28

$- 28$ , а сумма —

- 3

$- 3$ .

- 7, 4

$- 7, 4$

Этап 2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

(u - 7) (u + 4) = 0

$(u - 7) (u + 4) = 0$

(u - 7) (u + 4) = 0

$(u - 7) (u + 4) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен

0

$0$ , все выражение равно

0

$0$ .

u - 7 = 0

$u - 7 = 0$

u + 4 = 0

$u + 4 = 0$

Этап 4

Приравняем

u - 7

$u - 7$ к

0

$0$ , затем решим относительно

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем

u - 7

$u - 7$ к

0

$0$ .

u - 7 = 0

$u - 7 = 0$

Этап 4.2

Добавим

7

$7$ к обеим частям уравнения.

u = 7

$u = 7$

u = 7

$u = 7$

Этап 5

Приравняем

u + 4

$u + 4$ к

0

$0$ , затем решим относительно

u

$u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем

u + 4

$u + 4$ к

0

$0$ .

u + 4 = 0

$u + 4 = 0$

Этап 5.2

Вычтем

4

$4$ из обеих частей уравнения.

u = - 4

$u = - 4$

u = - 4

$u = - 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых

(u - 7) (u + 4) = 0

$(u - 7) (u + 4) = 0$ верно.

u = 7, - 4

$u = 7, - 4$

Этап 7

Подставим вещественное значение

u = x^{2}

$u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

x^{2} = 7

$x^{2} = 7$

{(x^{2})}^{1} = - 4

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Этап 8

Решим первое уравнение относительно

x

$x$ .

x^{2} = 7

$x^{2} = 7$

Этап 9

Решим уравнение относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{7}

$x = \pm \sqrt{7}$

Этап 9.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

x = \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}$

Этап 9.2.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

x = - \sqrt{7}

$x = - \sqrt{7}$

Этап 9.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}$

Этап 10

Решим второе уравнение относительно

x

$x$ .

{(x^{2})}^{1} = - 4

${(x^{2})}^{1} = - 4$

Этап 11

Решим уравнение относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

x^{2} = - 4

$x^{2} = - 4$

Этап 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

x = \pm \sqrt{- 4}

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 11.3

Упростим

\pm \sqrt{- 4}

$\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Перепишем

- 4

$- 4$ в виде

- 1 (4)

$- 1 (4)$ .

x = \pm \sqrt{- 1 (4)}

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 11.3.2

Перепишем

\sqrt{- 1 (4)}

$\sqrt{- 1 (4)}$ в виде

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 11.3.3

Перепишем

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ в виде

i

$i$ .

x = \pm i \cdot \sqrt{4}

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 11.3.4

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 11.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

x = \pm i \cdot 2

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 11.3.6

Перенесем

2

$2$ влево от

i

$i$ .

x = \pm 2 i

$x = \pm 2 i$

x = \pm 2 i

$x = \pm 2 i$

Этап 11.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сначала с помощью положительного значения

\pm

$\pm$ найдем первое решение.

x = 2 i

$x = 2 i$

Этап 11.4.2

Затем, используя отрицательное значение

\pm

$\pm$ , найдем второе решение.

x = - 2 i

$x = - 2 i$

Этап 11.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

x = 2 i, - 2 i

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 12

Решением

x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0

$x^{4} - 3 x^{2} - 28 = 0$ является

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i$ .

x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i

$x = \sqrt{7}, - \sqrt{7}, 2 i, - 2 i$