Основы мат. анализа Примеры

$x^{5} + x^{3} - 20 x = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + x^{3} - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 20 x = 0$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 20 x = 0$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 20 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 20 = 0$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 20 = 0$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 20$ .

$x (x^{4} + x^{2} - 20) = 0$

Этап 1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 20) = 0$

Этап 1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} + u - 20) = 0$

Этап 1.4

Разложим $u^{2} + u - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 1.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u - 4) (u + 5)) = 0$

Этап 1.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 5)) = 0$

Этап 1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 5)) = 0$

Этап 1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5)) = 0$

Этап 1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + 5$ к $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 5$

Этап 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Этап 6.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Этап 6.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (5)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Этап 6.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Этап 6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{5}$

Этап 6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{5}$

Этап 6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$