Основы мат. анализа Примеры

$x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Этап 1.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{5} - 8 \cdot 2^{4} + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$32 - 8 \cdot 2^{4} + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$32 - 8 \cdot 16 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.4

Умножим $- 8$ на $16$ .

$32 - 128 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.5

Вычтем $128$ из $32$ .

$- 96 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$- 96 + 22 \cdot 8 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.7

Умножим $22$ на $8$ .

$- 96 + 176 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.8

Добавим $- 96$ и $176$ .

$80 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$80 - 26 \cdot 4 + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.10

Умножим $- 26$ на $4$ .

$80 - 104 + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.11

Вычтем $104$ из $80$ .

$- 24 + 21 \cdot 2 - 18$

Этап 1.1.3.12

Умножим $21$ на $2$ .

$- 24 + 42 - 18$

Этап 1.1.3.13

Добавим $- 24$ и $42$ .

$18 - 18$

Этап 1.1.3.14

Вычтем $18$ из $18$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18}{x - 2}$

Этап 1.1.5

Разделим $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{4}$
	$x$	-	$2$		$x^{5}$	-	$8 x^{4}$	+	$22 x^{3}$	-	$26 x^{2}$	+	$21 x$	-	$18$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} - 2 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{4} + 12 x^{3}$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{3} - 20 x^{2}$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

Этап 1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

Этап 1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 6 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

Этап 1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

Этап 1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 6 x^{2} + 12 x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

Этап 1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

Этап 1.1.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

Этап 1.1.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

Этап 1.1.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Этап 1.1.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $9 x - 18$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Этап 1.1.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

$0$

Этап 1.1.5.26

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 9$

Этап 1.1.6

Запишем $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ в виде набора множителей.

$(x - 2) (x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Этап 1.2

Перегруппируем члены.

$(x - 2) (- 6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x^{3} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x^{3}$ .

$(x - 2) (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x$ .

$(x - 2) (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot 1 + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $- 6 x$ из $- 6 x (x^{2}) - 6 x (1)$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Этап 1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Этап 1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 10 u + 9) = 0$

Этап 1.6

Разложим $u^{2} + 10 u + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $10$ .

$1, 9$

Этап 1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 9)) = 0$

Этап 1.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.8

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 6 x (x^{2} + 1)$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.8.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (- 6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.9

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Переставляем члены.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 6 u + 9)) = 0$

Этап 1.10.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})) = 0$

Этап 1.10.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 1.10.4

Перепишем многочлен.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Этап 1.10.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) {(u - 3)}^{2}) = 0$

Этап 1.11

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2}) = 0$

Этап 1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 2) (x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 4.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 5

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем ${(x - 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим ${(x - 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2, i, - i, 3$