Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5} = \frac{10 x}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5} = \frac{10 x}{x^{2} - 5^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5} = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 5, x + 5, (x + 5) (x - 5)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x + 5$ является само значение $x + 5$ .

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $x - 5$ является само значение $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $x - 5, x + 5, x + 5, x - 5$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 5) (x + 5)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5} = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)}$ умножим на $(x - 5) (x + 5)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5} = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)}$ на $(x - 5) (x + 5)$ .

$\frac{x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - \frac{5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 5} ((x - 5) (x + 5)) - \frac{5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x (x + 5) - \frac{5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 5 - \frac{5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 5 - \frac{5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x^{2} + 5 \cdot x - \frac{5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{x + 5}$ в числитель.

$x^{2} + 5 x + \frac{- 5}{x + 5} ((x - 5) (x + 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $x + 5$ из $(x - 5) (x + 5)$ .

$x^{2} + 5 x + \frac{- 5}{x + 5} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 5 x + \frac{- 5}{x + 5} ((x + 5) (x - 5)) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 5 x - 5 (x - 5) = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} + 5 x - 5 x - 5 \cdot - 5 = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$x^{2} + 5 x - 5 x + 25 = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + 5 x - 5 x + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $5 x$ из $5 x$ .

$x^{2} + 0 + 25 = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x^{2} + 25 = \frac{10 x}{(x + 5) (x - 5)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(x - 5) (x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(x - 5) (x + 5)$ из $(x + 5) (x - 5)$ .

$x^{2} + 25 = \frac{10 x}{(x - 5) (x + 5) (1)} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + 25 = \frac{10 x}{(x - 5) (x + 5) \cdot 1} ((x - 5) (x + 5))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 25 = 10 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 25 - 10 x = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Переставляем члены.

$x^{2} - 10 x + 25 = 0$

Этап 4.2.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x^{2} - 10 x + 5^{2} = 0$

Этап 4.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 4.2.4

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = 0$

Этап 4.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 4.3

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.4

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x - 5} - \frac{5}{x + 5} = \frac{10 x}{x^{2} - 25}$ истинным.

$Нет решения$