Основы мат. анализа Примеры

$4 \sqrt{3 m^{2} - 15} = 4$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(4 \sqrt{3 m^{2} - 15})}^{2} = 4^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 m^{2} - 15}$ в виде ${(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${(4 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило умножения к $4 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$16 {({(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 {(3 m^{2} - 15)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 {(3 m^{2} - 15)}^{1} = 4^{2}$

Этап 2.2.1.4

Упростим.

$16 (3 m^{2} - 15) = 4^{2}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (3 m^{2}) + 16 \cdot - 15 = 4^{2}$

Этап 2.2.1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Умножим $3$ на $16$ .

$48 m^{2} + 16 \cdot - 15 = 4^{2}$

Этап 2.2.1.6.2

Умножим $16$ на $- 15$ .

$48 m^{2} - 240 = 4^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$48 m^{2} - 240 = 16$

Этап 3

Решим относительно $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $m$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $240$ к обеим частям уравнения.

$48 m^{2} = 16 + 240$

Этап 3.1.2

Добавим $16$ и $240$ .

$48 m^{2} = 256$

Этап 3.2

Разделим каждый член $48 m^{2} = 256$ на $48$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $48 m^{2} = 256$ на $48$ .

$\frac{48 m^{2}}{48} = \frac{256}{48}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{48 m^{2}}{48} = \frac{256}{48}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $m^{2}$ на $1$ .

$m^{2} = \frac{256}{48}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель $256$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $256$ .

$m^{2} = \frac{16 (16)}{48}$

Этап 3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$m^{2} = \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 3}$

Этап 3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$m^{2} = \frac{16 \cdot 16}{16 \cdot 3}$

Этап 3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$m^{2} = \frac{16}{3}$

Этап 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$m = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{16}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$m = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$m = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$m = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$m = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $\frac{4}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 3.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 3.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$m = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$m = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$m = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$m = 2.30940107 \dots, - 2.30940107 \dots$