Основы мат. анализа Примеры

$\sin (15) = (\frac{1}{2}) \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$\sin (45 - 30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.2

Выделим отрицательную часть.

$\sin (45 - (30)) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.3

Применим формулу для разности углов.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2}$

Этап 3

Перепишем уравнение в виде $\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Этап 4

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} \cdot 2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} \cdot 2 = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Этап 5.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 2$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 (2)} \cdot 2$

Этап 5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Этап 5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Решим относительно $A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{A - \sqrt{B}}}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ в виде ${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(A - \sqrt{B})}^{1} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$A - \sqrt{B} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим ${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.1.3

Перепишем ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.2

Развернем $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.5

Умножим $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.6

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.9

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.9.2

Умножим $6$ на $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.10

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.10.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.10.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.13

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.13.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.13.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.13.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.13.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.13.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.13.6

Добавим $1$ и $1$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.3.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.1.14.5

Найдем экспоненту.

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.2

Добавим $6$ и $2$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Этап 6.2.3.1.3.3

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Этап 6.2.3.1.4

Сократим общий множитель $8 - 4 \sqrt{3}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Этап 6.2.3.1.4.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Этап 6.2.3.1.4.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4}$

Этап 6.2.3.1.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.4.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Этап 6.2.3.1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$A - \sqrt{B} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Этап 6.2.3.1.4.4.4

Разделим $2 - \sqrt{3}$ на $1$ .

$A - \sqrt{B} = 2 - \sqrt{3}$

Этап 6.3

Добавим $\sqrt{B}$ к обеим частям уравнения.

$A = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{B}$