Основы мат. анализа Примеры

$4 - \sin (x) = \cos (2 x)$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$4 - \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Этап 2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Этап 3

Добавим $2 \sin^{2} (x)$ к обеим частям уравнения.

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = 1 - 4$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sin^{2} (x) = - 3$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- (u) + 2 {(u)}^{2} = - 3$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- u + 2 u^{2} + 3 = 0$

Этап 5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 1$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $24$ из $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Этап 5.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Этап 5.7

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Этап 5.8

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

$\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Этап 5.9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 + i \sqrt{23}}{4})$

Этап 5.9.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{1 + i \sqrt{23}}{4})$ не определена.

Неопределенные

Этап 5.10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 - i \sqrt{23}}{4})$

Этап 5.10.2

Обратная функция синуса от $\arcsin (\frac{1 - i \sqrt{23}}{4})$ не определена.

Неопределенные

Этап 5.11

Перечислим все решения.

Нет решения