Основы мат. анализа Примеры

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Этап 1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Этап 1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Этап 1.3

Чтобы записать $\frac{1}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Этап 1.4

Чтобы записать $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Этап 1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Этап 1.7

Вычтем $5 \sin (x)$ из $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Этап 3

Каждый член в $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ умножим на $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ на $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Этап 3.3.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $3$ влево от $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Этап 3.3.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Этап 3.3.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Этап 3.3.2.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Этап 3.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Этап 3.3.3.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $\sin (x)$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $\sin (x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $7 \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Этап 4.2.2

Добавим $- 9 \sin (x)$ и $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Этап 4.3

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 2$ и $c = - 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $\sin (x)$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 24$ на $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.3

Добавим $4$ и $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $76$ в виде $2^{2} \cdot 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $76$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Этап 4.6.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Этап 6.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Этап 6.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Этап 6.4.3

Вычтем $1.10430054$ из $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Этап 6.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Этап 7.3

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Этап 7.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Этап 7.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Этап 7.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Этап 7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 7.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $2 π$ к $- 0.59416431$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.59416431 + 2 π$

Этап 7.6.2

Вычтем $0.59416431$ из $2 π$ .

$5.68902098$

Этап 7.6.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.68902098$

Этап 7.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , для любого целого $n$