Основы мат. анализа Примеры

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2

Упростим

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2

Любой корень из

$1$ равен

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.3

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ на

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.3

Возведем

$\sqrt{2}$ в степень

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.6

Перепишем

${\sqrt{2}}^{2}$ в виде

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{2}$ в виде

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сначала с помощью положительного значения

$\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2

Затем, используя отрицательное значение

$\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для

$x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 5

Решим относительно

$x$ в

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Точное значение

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ :

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из

$π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 5.4

Упростим

$π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы записать

$π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Объединим

$π$ и

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Перенесем

$4$ влево от

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.4.3.2

Вычтем

$π$ из

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.5

Найдем период

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 5.6

Период функции

$\sin (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 6

Решим относительно

$x$ в

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь

$x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ :

$- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 6.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из

$2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к

$π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 6.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем

$2 π$ из

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 6.4.2

Результирующий угол

$\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим

$2 π$ и отличается от

$2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.5

Найдем период

$\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим

$b$ на

$1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

$0$ и

$1$ равно

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим

$2 π$ на

$1$ .

$2 π$

Этап 6.6

Добавим

$2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим

$2 π$ к

$- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 6.6.2

Чтобы записать

$2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.3.1

Объединим

$2 π$ и

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Умножим

$4$ на

$2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.6.4.2

Вычтем

$π$ из

$8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 6.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.7

Период функции

$\sin (x)$ равен

$2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые

$2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого

$n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого

$n$