Основы мат. анализа Примеры

${(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2} = 65$

Этап 1

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${({(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2

Упростим ${({(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(4 \cos (x) - 7 \sin (x))}^{2}$ в виде $(4 \cos (x) - 7 \sin (x)) (4 \cos (x) - 7 \sin (x))$ .

${((4 \cos (x) - 7 \sin (x)) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.2

Развернем $(4 \cos (x) - 7 \sin (x)) (4 \cos (x) - 7 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(4 \cos (x) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(4 \cos (x) (4 \cos (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x) - 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(4 \cos (x) (4 \cos (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $4 \cos (x) (4 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

${(16 \cos (x) \cos (x) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

${(16 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

${(16 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(16 {\cos (x)}^{1 + 1} + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) (- 7 \sin (x)) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $- 7$ на $4$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 7 \sin (x) (4 \cos (x)) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $4$ на $- 7$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) - 7 \sin (x) (- 7 \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4

Умножим $- 7 \sin (x) (- 7 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.4.1

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 \sin (x) \sin (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 {\sin (x)}^{1 + 1} + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \sin (x) \cos (x) + 49 \sin^{2} (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.2

Изменим порядок множителей в $- 28 \sin (x) \cos (x)$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 28 \cos (x) \sin (x) - 28 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.3.3

Вычтем $28 \cos (x) \sin (x)$ из $- 28 \cos (x) \sin (x)$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + {(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.4

Перепишем ${(7 \cos (x) + 4 \sin (x))}^{2}$ в виде $(7 \cos (x) + 4 \sin (x)) (7 \cos (x) + 4 \sin (x))$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + (7 \cos (x) + 4 \sin (x)) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.5

Развернем $(7 \cos (x) + 4 \sin (x)) (7 \cos (x) + 4 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 7 \cos (x) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 7 \cos (x) (7 \cos (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x) + 4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 7 \cos (x) (7 \cos (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Умножим $7 \cos (x) (7 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1.1

Умножим $7$ на $7$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos (x) \cos (x) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 {\cos (x)}^{1 + 1} + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 7 \cos (x) (4 \sin (x)) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.2

Умножим $4$ на $7$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 4 \sin (x) (7 \cos (x)) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.3

Умножим $7$ на $4$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) (4 \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.4

Умножим $4 \sin (x) (4 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.4.1

Умножим $4$ на $4$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 \sin (x) \sin (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 (\sin^{1} (x) \sin (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 {\sin (x)}^{1 + 1})}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \sin (x) \cos (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.2

Изменим порядок множителей в $28 \sin (x) \cos (x)$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 28 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.1.6.3

Добавим $28 \cos (x) \sin (x)$ и $28 \cos (x) \sin (x)$ .

${(16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 56 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим противоположные члены в $16 \cos^{2} (x) - 56 \cos (x) \sin (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 56 \cos (x) \sin (x) + 16 \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Добавим $- 56 \cos (x) \sin (x)$ и $56 \cos (x) \sin (x)$ .

${(16 \cos^{2} (x) + 0 + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Добавим $16 \cos^{2} (x)$ и $0$ .

${(16 \cos^{2} (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.2.2

Перенесем $16 \sin^{2} (x)$ .

${(16 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $16$ из $16 \cos^{2} (x)$ .

${(16 (\cos^{2} (x)) + 16 \sin^{2} (x) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $16$ из $16 \sin^{2} (x)$ .

${(16 (\cos^{2} (x)) + 16 (\sin^{2} (x)) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $16$ из $16 (\cos^{2} (x)) + 16 (\sin^{2} (x))$ .

${(16 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.3

Переставляем члены.

${(16 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.4

Применим формулу Пифагора.

${(16 \cdot 1 + 49 \sin^{2} (x) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $49$ из $49 \sin^{2} (x)$ .

${(16 \cdot 1 + 49 (\sin^{2} (x)) + 49 \cos^{2} (x))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $49$ из $49 \cos^{2} (x)$ .

${(16 \cdot 1 + 49 (\sin^{2} (x)) + 49 (\cos^{2} (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $49$ из $49 (\sin^{2} (x)) + 49 (\cos^{2} (x))$ .

${(16 \cdot 1 + 49 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)))}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.6

Применим формулу Пифагора.

${(16 \cdot 1 + 49 \cdot 1)}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Умножим $16$ на $1$ .

${(16 + 49 \cdot 1)}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $49$ на $1$ .

${(16 + 49)}^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.7.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Добавим $16$ и $49$ .

$65^{2} = {(65)}^{2}$

Этап 2.7.2.2

Возведем $65$ в степень $2$ .

$4225 = {(65)}^{2}$

Этап 3

Возведем $65$ в степень $2$ .

$4225 = 4225$

Этап 4

Поскольку $4225 = 4225$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$