Основы мат. анализа Примеры

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.2

Развернем $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3.2

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3.3

Перенесем $- 1$ влево от $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 1.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 1.1.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Этап 2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 4

Разделим дроби.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 8.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 9

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 10

Разделим дроби.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 11

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 12

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 13.2

Перепишем это выражение.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 14

Разделим дроби.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 15

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 16

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 17

Разделим дроби.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 18

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 19

Разделим $0$ на $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Этап 20

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Этап 21

Разложим $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Этап 21.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Этап 21.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Этап 22

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 23

Приравняем $1 - \sec (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Приравняем $1 - \sec (x)$ к $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Этап 23.2

Решим $1 - \sec (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \sec (x) = - 1$

Этап 23.2.2

Разделим каждый член $- \sec (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.1

Разделим каждый член $- \sec (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 23.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 23.2.2.2.2

Разделим $\sec (x)$ на $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 23.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Этап 23.2.3

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (1)$

Этап 23.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.4.1

Точное значение $arcsec (1)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 23.2.5

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - 0$

Этап 23.2.6

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 π$

Этап 23.2.7

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 23.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 23.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 23.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 23.2.8

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 24

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 24.2

Решим $\tan (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 24.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 24.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 24.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 24.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 24.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 24.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 24.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 24.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 24.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 24.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 24.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 24.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 24.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 24.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.7.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 24.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 24.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 24.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 25

Окончательным решением являются все значения, при которых $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 26

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$