Основы мат. анализа Примеры

$(\cot (x) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1

Упростим $(\cot (x) - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (x) + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2

Развернем $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sqrt{3}) (\sqrt{2} \sin (x) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sqrt{2} \sin (x) + 1) - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sqrt{2} \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x) + 1) = 0$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sqrt{2} \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x)) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sqrt{2} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x)) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.2

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x)) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x)) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x)) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.4

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\sqrt{2} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x)) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.5

Умножим $- \sqrt{3} (\sqrt{2} \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\sqrt{2} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sqrt{2 \cdot 3} \sin (x) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\sqrt{2} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sqrt{6} \sin (x) - \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\sqrt{2} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \sqrt{6} \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 1.4

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\sqrt{2} \cos (x) + \cot (x) - \sqrt{6} \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Этап 2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3