Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) + 3 \cos (x) = 2$

Этап 1

Используем тождество для решения уравнения. В этом тождестве $θ$ представляет угол, образованный при нанесении точки $(a, b)$ на график, поэтому его можно найти с помощью $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ , где $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ и $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Этап 2

Преобразуем уравнение, чтобы найти значение $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{3}{1})$

Этап 3

Возьмем обратный тангенс, чтобы решить уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим $3$ на $1$ .

$θ = \tan^{-1} (3)$

Этап 3.2

Найдем значение $\tan^{-1} (3)$ .

$θ = 1.24904577$

Этап 4

Решим, чтобы найти значение $R$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Единица в любой степени равна единице.

$R = \sqrt{1 + {(3)}^{2}}$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$R = \sqrt{1 + 9}$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $9$ .

$R = \sqrt{10}$

Этап 5

Подставим известные значения в уравнение.

$(\sqrt{10}) \sin (x + 1.24904577) = 2$

Этап 6

Разделим каждый член $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ на $\sqrt{10}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577) = 2$ на $\sqrt{10}$ .

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sqrt{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{10} \sin (x + 1.24904577)}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $\sin (x + 1.24904577)$ на $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 6.3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 6.3.2.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Этап 6.3.2.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Этап 6.3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 6.3.2.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Этап 6.3.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{10}$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель $2$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{10}$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 (\sqrt{10})}{10}$

Этап 6.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{2 \sqrt{10}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x + 1.24904577) = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x + 1.24904577 = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем значение $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{10}}{5})$ .

$x + 1.24904577 = 0.6847192$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $1.24904577$ из обеих частей уравнения.

$x = 0.6847192 - 1.24904577$

Этап 9.2

Вычтем $1.24904577$ из $0.6847192$ .

$x = - 0.56432656$

Этап 10

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x + 1.24904577 = (3.14159265) - 0.6847192$

Этап 11

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вычтем $0.6847192$ из $3.14159265$ .

$x + 1.24904577 = 2.45687345$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $1.24904577$ из обеих частей уравнения.

$x = 2.45687345 - 1.24904577$

Этап 11.2.2

Вычтем $1.24904577$ из $2.45687345$ .

$x = 1.20782767$

Этап 12

Найдем период $\sin (x + 1.24904577)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 12.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 12.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 12.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $2 π$ к $- 0.56432656$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.56432656 + 2 π$

Этап 13.2

Вычтем $0.56432656$ из $2 π$ .

$5.71885873$

Этап 13.3

Перечислим новые углы.

$x = 5.71885873$

Этап 14

Период функции $\sin (x + 1.24904577)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.20782767 + 2 π n, 5.71885873 + 2 π n$ , для любого целого $n$