Основы мат. анализа Примеры

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Этап 1

Разделим каждый член $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ на $\tan (\frac{x}{2})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ на $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\tan (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Этап 1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Выразим $\tan (\frac{x}{2})$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}}$

Этап 1.3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Этап 1.3.3

Запишем $\sin (\frac{x}{2})$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель $\sin (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Этап 1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$1 = \cos (\frac{x}{2})$

Этап 2

Перепишем уравнение в виде $\cos (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 1$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Этап 5

Приравняем числитель к нулю.

$x = 0$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Этап 7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - 0)$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Упростим $2 (2 π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$x = 2 (2 π)$

Этап 7.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π$

Этап 8

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 8.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 8.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 9

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = 4 π n$ , для любого целого $n$