Основы мат. анализа Примеры

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 1

Упростим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.2.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$\tan (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Точное значение $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$3 x = \frac{π}{6}$

Этап 4

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{3}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 3}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{π}{18}$

Этап 5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + \frac{π}{6}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$3 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 6.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 6.1.4

Добавим $π \cdot 6$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$3 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 6.1.4.2

Добавим $6 \cdot π$ и $π$ .

$3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Этап 6.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

Этап 6.2.3.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$x = \frac{7 π}{18}$

Этап 7

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 8

Период функции $\tan (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{18} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$