Основы мат. анализа Примеры

$2^{2 x} + 2^{x + 2} = 12$

Этап 1

Перепишем $2^{x + 2}$ в виде $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

Этап 2

Перепишем $2^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u^{2} + u \cdot 2^{2} = 12$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u^{2} + u \cdot 4 = 12$

Этап 4.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$u^{2} + 4 u = 12$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 4 u - 12 = 0$

Этап 5.2

Разложим $u^{2} + 4 u - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $4$ .

$- 2, 6$

Этап 5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 6) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 6 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $u - 2$ к $0$ .

$u - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$u = 2$

Этап 5.5

Приравняем $u + 6$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $u + 6$ к $0$ .

$u + 6 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$u = - 6$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 2) (u + 6) = 0$ верно.

$u = 2, - 6$

Этап 6

Подставим $2$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Этап 7

Решим $2 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Этап 7.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x} = 2^{1}$

Этап 7.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 1$

Этап 8

Подставим $- 6$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$- 6 = 2^{x}$

Этап 9

Решим $- 6 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = - 6$ .

$2^{x} = - 6$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 6)$

Этап 9.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 6)$ не определено.

Неопределенные

Этап 9.4

Нет решения для $2^{x} = - 6$

Нет решения

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = 1$