Основы мат. анализа Примеры

$\frac{25}{\sqrt[4]{5^{x}}} = (\frac{1}{125^{x}})$

Этап 1

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$1 \cdot (\sqrt[4]{5^{x}}) = 25 \cdot (125^{x})$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\sqrt[4]{5^{x}}$ на $1$ .

$\sqrt[4]{5^{x}} = 25 \cdot (125^{x})$

Этап 1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $25 (125^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2} \cdot 125^{x}$

Этап 1.3.1.2

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2} \cdot {(5^{3})}^{x}$

Этап 1.3.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2} \cdot 5^{3 x}$

Этап 1.3.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt[4]{5^{x}} = 5^{2 + 3 x}$

Этап 2

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{5^{x}}}^{4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{5^{x}}$ в виде $5^{\frac{x}{4}}$ .

${(5^{\frac{x}{4}})}^{4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${(5^{\frac{x}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{\frac{x}{4} \cdot 4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5^{\frac{x}{4} \cdot 4} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Этап 3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$5^{x} = {(5^{2 + 3 x})}^{4}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${(5^{2 + 3 x})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5^{x} = 5^{(2 + 3 x) \cdot 4}$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5^{x} = 5^{2 \cdot 4 + 3 x \cdot 4}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$5^{x} = 5^{8 + 3 x \cdot 4}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$5^{x} = 5^{8 + 12 x}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = 8 + 12 x$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $12 x$ из обеих частей уравнения.

$x - 12 x = 8$

Этап 4.2.1.2

Вычтем $12 x$ из $x$ .

$- 11 x = 8$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $- 11 x = 8$ на $- 11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $- 11 x = 8$ на $- 11$ .

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{8}{- 11}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 11 x}{- 11} = \frac{8}{- 11}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{- 11}$

Этап 4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{11}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{8}{11}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{72}$