Основы мат. анализа Примеры

$\frac{24}{2 x} + \frac{24 x}{5} = 4$

Этап 1

Сократим выражение $\frac{24}{2 x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 x} + \frac{24 x}{5} = 4$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 12}{2 (x)} + \frac{24 x}{5} = 4$

Этап 1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 12}{2 x} + \frac{24 x}{5} = 4$

Этап 1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{x} + \frac{24 x}{5} = 4$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 5, 1$

Этап 2.2

Since $x, 5, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}$ .

Этап 2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

Поскольку $5$ не имеет множителей, кроме $1$ и $5$ .

$5$ — простое число

Этап 2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.7

НОК $1, 5, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$5$

Этап 2.8

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 2.10

НОК $x, 5, 1$ представляет собой произведение числовой части $5$ и переменной части.

$5 x$

Этап 3

Каждый член в $\frac{12}{x} + \frac{24 x}{5} = 4$ умножим на $5 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{12}{x} + \frac{24 x}{5} = 4$ на $5 x$ .

$\frac{12}{x} (5 x) + \frac{24 x}{5} (5 x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 \frac{12}{x} x + \frac{24 x}{5} (5 x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $5 \frac{12}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $5$ и $\frac{12}{x}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{x} x + \frac{24 x}{5} (5 x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $5$ на $12$ .

$\frac{60}{x} x + \frac{24 x}{5} (5 x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{60}{x} x + \frac{24 x}{5} (5 x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$60 + \frac{24 x}{5} (5 x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$60 + 5 \frac{24 x}{5} x = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$60 + 5 \frac{24 x}{5} x = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$60 + 24 x \cdot x = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Перенесем $x$ .

$60 + 24 (x \cdot x) = 4 (5 x)$

Этап 3.2.1.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$60 + 24 x^{2} = 4 (5 x)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $5$ на $4$ .

$60 + 24 x^{2} = 20 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $20 x$ из обеих частей уравнения.

$60 + 24 x^{2} - 20 x = 0$

Этап 4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $60 + 24 x^{2} - 20 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$4 (15) + 24 x^{2} - 20 x = 0$

Этап 4.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $24 x^{2}$ .

$4 (15) + 4 (6 x^{2}) - 20 x = 0$

Этап 4.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 20 x$ .

$4 (15) + 4 (6 x^{2}) + 4 (- 5 x) = 0$

Этап 4.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (15) + 4 (6 x^{2})$ .

$4 (15 + 6 x^{2}) + 4 (- 5 x) = 0$

Этап 4.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (15 + 6 x^{2}) + 4 (- 5 x)$ .

$4 (15 + 6 x^{2} - 5 x) = 0$

Этап 4.2.2

Изменим порядок членов.

$4 (6 x^{2} - 5 x + 15) = 0$

Этап 4.3

Разделим каждый член $4 (6 x^{2} - 5 x + 15) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $4 (6 x^{2} - 5 x + 15) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (6 x^{2} - 5 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (6 x^{2} - 5 x + 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $6 x^{2} - 5 x + 15$ на $1$ .

$6 x^{2} - 5 x + 15 = \frac{0}{4}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$6 x^{2} - 5 x + 15 = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 5$ и $c = 15$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 15)}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 6 \cdot 15}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24 \cdot 15}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.2.2

Умножим $- 24$ на $15$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 360}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.3

Вычтем $360$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 335}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $- 335$ в виде $- 1 (335)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 335}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (335)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{335}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{335}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{335}}{2 \cdot 6}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = \frac{5 \pm i \sqrt{335}}{12}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + i \sqrt{335}}{12}, \frac{5 - i \sqrt{335}}{12}$