Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 2, 2$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 1.5

НОК $1, 1, 2$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 1.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 2$ является само значение $x + 2$ .

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x - 1, x + 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 2)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$2 (x - 1) (x + 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ умножим на $2 (x - 1) (x + 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{2}$ на $2 (x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{1}{x - 1} (2 (x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{2}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$2 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 2 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$2 x + 4 + \frac{1}{x + 2} (2 (x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x + 4 + 2 \frac{1}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.7

Объединим $2$ и $\frac{1}{x + 2}$ .

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.8.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x - 1) (x + 2)$ .

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$2 x + 4 + \frac{2}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$2 x + 4 + 2 (x - 1) = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 4 + 2 x + 2 \cdot - 1 = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.1.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 x + 4 + 2 x - 2 = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$4 x + 4 - 2 = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$4 x + 2 = \frac{1}{2} (2 (x - 1) (x + 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 (x - 1) (x + 2)$ .

$4 x + 2 = \frac{1}{2} (2 ((x - 1) (x + 2)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$4 x + 2 = \frac{1}{2} (2 ((x - 1) (x + 2)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$4 x + 2 = (x - 1) (x + 2)$

Этап 2.3.2

Развернем $(x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 2 = x (x + 2) - 1 (x + 2)$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 2 = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 2 = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 2 = x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 x + 2 = x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$4 x + 2 = x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x + 2 = x^{2} + 2 x - x - 2$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$4 x + 2 = x^{2} + x - 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + x - 2 = 4 x + 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 2 - 4 x = 2$

Этап 3.2.2

Вычтем $4 x$ из $x$ .

$x^{2} - 3 x - 2 = 2$

Этап 3.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 2 - 2 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Этап 3.5

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 4) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 4, - 1$