Основы мат. анализа Примеры

$| x + 1 | = x^{2} - 5$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (x^{2} - 5)$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x + 1 = x^{2} - 5$

Этап 2.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - x^{2} = - 5$

Этап 2.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 - x^{2} + 5 = 0$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $5$ .

$x - x^{2} + 6 = 0$

Этап 2.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x - x^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Изменим порядок $x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 2.5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Этап 2.5.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Этап 2.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 2.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Этап 2.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 2.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.8

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.8.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 2.10

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x + 1 = - (x^{2} - 5)$

Этап 2.11

Упростим $- (x^{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Перепишем.

$x + 1 = 0 + 0 - (x^{2} - 5)$

Этап 2.11.2

Упростим путем добавления нулей.

$x + 1 = - (x^{2} - 5)$

Этап 2.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = - x^{2} - - 5$

Этап 2.11.4

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$x + 1 = - x^{2} + 5$

Этап 2.12

Добавим $x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 + x^{2} = 5$

Этап 2.13

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 + x^{2} - 5 = 0$

Этап 2.13.2

Вычтем $5$ из $1$ .

$x + x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.14

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.15

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.16.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.16.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.16.1.3

Добавим $1$ и $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.16.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Этап 2.17

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 2.18

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3, - 2, - \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 3

Исключим решения, которые не делают $| x + 1 | = x^{2} - 5$ истинным.

$x = 3, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 3, - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 3, - 2.56155281 \dots$