Основы мат. анализа Примеры

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Этап 1

Умножим обе части на $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $e^{x} - e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.4

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.5

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.6.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Этап 3.7

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вычтем $3 e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Этап 3.7.2

Добавим $3 e^{- x}$ к обеим частям уравнения.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Этап 3.7.3

Вычтем $3 e^{x}$ из $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Этап 3.7.4

Добавим $e^{- x}$ и $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Этап 3.8

Перенесем $- 2 e^{x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Этап 3.9

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Этап 3.10

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем $\ln (4 e^{- x})$ в виде $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Этап 3.10.2

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Этап 3.10.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Этап 3.10.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Этап 3.11

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем $\ln (2 e^{x})$ в виде $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Этап 3.11.2

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Этап 3.11.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Этап 3.11.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Этап 3.12

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Этап 3.13

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Этап 3.14

Разделим $4$ на $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Этап 3.15

Добавим $x$ и $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Этап 3.16

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 x = \ln (2)$

Этап 3.17

Разделим каждый член $2 x = \ln (2)$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.1

Разделим каждый член $2 x = \ln (2)$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 3.17.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.17.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 3.17.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0.34657359 \dots$