Основы мат. анализа Примеры

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = 1$

Этап 1

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 1 \cdot 2$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{x} - e^{- x} = 1 \cdot 2$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{x} - e^{- x} = 2$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 2$

Этап 3.2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 2$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 2$

Этап 3.4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 3.4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 3.4.2

Каждый член в $u - \frac{1}{u} = 2$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим каждый член $u - \frac{1}{u} = 2$ на $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 2 u$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 2 u$

Этап 3.4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{u}$ в числитель.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 u$

Этап 3.4.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 u$

Этап 3.4.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 1 = 2 u$

Этап 3.4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вычтем $2 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 1 - 2 u = 0$

Этап 3.4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.4.3.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 3.4.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 3.5

Подставим $1 + \sqrt{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$1 + \sqrt{2} = e^{x}$

Этап 3.6

Решим $1 + \sqrt{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 1 + \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 1 + \sqrt{2}$

Этап 3.6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1 + \sqrt{2})$

Этап 3.6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (1 + \sqrt{2})$

Этап 3.6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1 + \sqrt{2})$

Этап 3.6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (1 + \sqrt{2})$

Этап 3.7

Подставим $1 - \sqrt{2}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$1 - \sqrt{2} = e^{x}$

Этап 3.8

Решим $1 - \sqrt{2} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 1 - \sqrt{2}$ .

$e^{x} = 1 - \sqrt{2}$

Этап 3.8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (1 - \sqrt{2})$

Этап 3.8.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (1 - \sqrt{2})$ не определено.

Неопределенные

Этап 3.8.4

Нет решения для $e^{x} = 1 - \sqrt{2}$

Нет решения

Этап 3.9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (1 + \sqrt{2})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (1 + \sqrt{2})$

Десятичная форма:

$x = 0.88137358 \dots$