Основы мат. анализа Примеры

$\log_{0.5} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - 2$

Этап 1

Перепишем $\log_{0.5} ({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

${0.5}^{- 2} = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде ${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}} = {0.5}^{- 2}$ .

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}} = {0.5}^{- 2}$

Этап 2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Этап 2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Упростим ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Этап 2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Этап 2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x + 1)}^{1} = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Этап 2.3.1.1.2

Упростим.

$3 x + 1 = {({0.5}^{- 2})}^{3}$

Этап 2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим ${({0.5}^{- 2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({0.5}^{- 2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 1 = {0.5}^{- 2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.1.1.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$3 x + 1 = {0.5}^{- 6}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x + 1 = \frac{1}{{0.5}^{6}}$

Этап 2.3.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $6$ .

$3 x + 1 = \frac{1}{0.015625}$

Этап 2.3.2.1.4

Разделим $1$ на $0.015625$ .

$3 x + 1 = 64$

Этап 2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = 64 - 1$

Этап 2.4.1.2

Вычтем $1$ из $64$ .

$3 x = 63$

Этап 2.4.2

Разделим каждый член $3 x = 63$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Разделим каждый член $3 x = 63$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{63}{3}$

Этап 2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{63}{3}$

Этап 2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{63}{3}$

Этап 2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Разделим $63$ на $3$ .

$x = 21$