Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2^{x^{2}}}{64^{x}} = 128$

Этап 1

Перенесем $64^{x}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$2^{x^{2}} \cdot 64^{- x} = 128$

Этап 2

Перепишем $64$ в виде $2^{6}$ .

$2^{x^{2}} \cdot {(2^{6})}^{- x} = 128$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(2^{6})}^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x^{2}} \cdot 2^{6 (- x)} = 128$

Этап 3.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2^{x^{2}} \cdot 2^{- 6 x} = 128$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{x^{2} - 6 x} = 128$

Этап 5

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{x^{2} - 6 x} = 2^{7}$

Этап 6

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x^{2} - 6 x = 7$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Этап 7.2

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 7.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Этап 7.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 7.4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 7.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 7.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 7.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 7) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 1$