Основы мат. анализа Примеры

${(2.221)}^{x} = (\frac{1}{2}) ({0.75}^{x + 2})$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln ({2.221}^{x}) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Этап 2

Развернем $\ln ({2.221}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$ в виде $\ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$ .

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Этап 4

Перепишем $\ln (\frac{1}{2})$ в виде $\ln (1) - \ln (2)$ .

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Этап 5

Развернем $\ln ({0.75}^{x + 2})$ , вынося $x + 2$ из логарифма.

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Этап 6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (2.221) = 0 - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Этап 7

Вычтем $\ln (2)$ из $0$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Этап 8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + 2 \ln (0.75)$

Этап 8.1.1.2

Упростим $2 \ln (0.75)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln ({0.75}^{2})$

Этап 8.1.1.3

Возведем $0.75$ в степень $2$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln (0.5625)$

Этап 8.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (2.221) + \ln (2) - x \ln (0.75) - \ln (0.5625) = 0$

Этап 8.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (\frac{2}{0.5625}) = 0$

Этап 8.4

Разделим $2$ на $0.5625$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (3.\overline{5}) = 0$

Этап 8.5

Вычтем $\ln (3.\overline{5})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Этап 8.6

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (2.221) - x \ln (0.75)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (2.221)$ .

$x (\ln (2.221)) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Этап 8.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Этап 8.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75))$ .

$x (\ln (2.221) - 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Этап 8.7

Перепишем $- 1 \ln (0.75)$ в виде $- \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Этап 8.8

Разделим каждый член $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ на $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Разделим каждый член $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ на $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Этап 8.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Этап 8.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Этап 8.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Десятичная форма:

$x = - 1.16844605 \dots$