Основы мат. анализа Примеры

${(e^{x})}^{x} \cdot e^{45} = e^{14 x}$

Этап 1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x \cdot x} \cdot e^{45} = e^{14 x}$

Этап 2

Умножим $e^{x \cdot x}$ на $e^{45}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x \cdot x + 45} = e^{14 x}$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$e^{x^{2} + 45} = e^{14 x}$

Этап 3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x^{2} + 45 = 14 x$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $14 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 45 - 14 x = 0$

Этап 4.2

Разложим $x^{2} + 45 - 14 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $45$ , а сумма — $- 14$ .

$- 9, - 5$

Этап 4.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 9) (x - 5) = 0$

Этап 4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 4.5

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 9) (x - 5) = 0$ верно.

$x = 9, 5$