Основы мат. анализа Примеры

${\log_{x}}^{2} (x) - \log_{2} ({(x)}^{2}) = 15$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Логарифм $x$ по основанию $x$ равен $1$ .

$1^{2} - \log_{2} (x^{2}) = 15$

Этап 1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - \log_{2} (x^{2}) = 15$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \log_{2} (x^{2}) = 15 - 1$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из $15$ .

$- \log_{2} (x^{2}) = 14$

Этап 3

Разделим каждый член $- \log_{2} (x^{2}) = 14$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \log_{2} (x^{2}) = 14$ на $- 1$ .

$\frac{- \log_{2} (x^{2})}{- 1} = \frac{14}{- 1}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\log_{2} (x^{2})}{1} = \frac{14}{- 1}$

Этап 3.2.2

Разделим $\log_{2} (x^{2})$ на $1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = \frac{14}{- 1}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $14$ на $- 1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = - 14$

Этап 4

Запишем в экспоненциальной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Для логарифмических уравнений $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ такому, что $x > 0$ , $b > 0$ и $b \neq 1$ . В этом случае $b = 2$ , $x = x^{2}$ и $y = - 14$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = - 14$

Этап 4.2

Подставим значения $b$ , $x$ и $y$ в уравнение $b^{y} = x$ .

$2^{- 14} = x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} = 2^{- 14}$ .

$x^{2} = 2^{- 14}$

Этап 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{- 14}}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt{2^{- 14}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2^{14}}}$

Этап 5.3.2

Возведем $2$ в степень $14$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16384}}$

Этап 5.3.3

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{16384}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16384}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16384}}$

Этап 5.3.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16384}}$

Этап 5.3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем $16384$ в виде $128^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{128^{2}}}$

Этап 5.3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{128}$

Этап 5.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{128}$

Этап 5.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{128}$

Этап 5.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{128}, - \frac{1}{128}$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают ${\log_{x}}^{2} (x) - \log_{2} ({(x)}^{2}) = 15$ истинным.

$x = \frac{1}{128}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{128}$

Десятичная форма:

$x = 0.0078125$