Основы мат. анализа Примеры

${(\frac{4}{5})}^{6 x + 1} = \frac{5}{4}$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1}) = \ln (\frac{5}{4})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1})$ , вынося $6 x + 1$ из логарифма.

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (\frac{4}{5})$ в виде $\ln (4) - \ln (5)$ .

$(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5)) = \ln (\frac{5}{4})$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Этап 3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + 1 \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Этап 3.1.3

Умножим $\ln (\frac{4}{5})$ на $1$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) - \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Этап 5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}) = 0$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) = 0$

Этап 6.2

Умножим $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{4}{5}$ на $\frac{4}{5}$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}) = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{5 \cdot 5}) = 0$

Этап 6.2.3

Умножим $5$ на $5$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{25}) = 0$

Этап 7

Вычтем $\ln (\frac{16}{25})$ из обеих частей уравнения.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$

Этап 8

Разделим каждый член $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ на $6 \ln (\frac{4}{5})$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ на $6 \ln (\frac{4}{5})$ .

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Этап 8.2.2

Сократим общий множитель $\ln (\frac{4}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Этап 8.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{3}$