Основы мат. анализа Примеры

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Развернем $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Этап 2.2

Умножим $2^{2 x}$ на $2^{2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Этап 2.2.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Этап 2.3

Развернем $\ln (2^{4 x})$ , вынося $4 x$ из логарифма.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Этап 3.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Этап 3.1.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Этап 3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Этап 3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Этап 3.1.3

Изменим порядок множителей в $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Этап 4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ и $c = - \ln (8)$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.2

Пусть $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Подставим $u$ вместо $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Применим правило умножения к $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $4$ из $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.5.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.5.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.6

Вынесем множитель $4 \ln (2)$ из $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.6.1

Вынесем множитель $4 \ln (2)$ из $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.6.2

Вынесем множитель $4 \ln (2)$ из $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.6.3

Вынесем множитель $4 \ln (2)$ из $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.7

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.8

Перепишем $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ в виде ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Десятичная форма:

$x = 1.5, - 0.5$