Основы мат. анализа Примеры

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x - 5) = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 x - 5)}^{3} - (2 x) - - 5 = 0$

Этап 1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x - - 5 = 0$

Этап 1.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

${(2 x - 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Воспользуемся бином Ньютона.

${(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.5

Умножим $4$ на $3$ .

$8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 5 + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.6

Умножим $- 5$ на $12$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 3 (2 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.8

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 6 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.9

Умножим $25$ на $6$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x + {(- 5)}^{3} - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.2.10

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x - 125 - 2 x + 5 = 0$

Этап 2.3

Вычтем $2 x$ из $150 x$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 125 + 5 = 0$

Этап 2.4

Добавим $- 125$ и $5$ .

$8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

Этап 2.5

Перепишем $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{3} - 60 x^{2} + 148 x - 120$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{3}$ .

$4 (2 x^{3}) - 60 x^{2} + 148 x - 120 = 0$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 60 x^{2}$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 148 x - 120 = 0$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $148 x$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) - 120 = 0$

Этап 2.5.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 120$ .

$4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

Этап 2.5.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{3}) + 4 (- 15 x^{2})$ .

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x) + 4 (- 30) = 0$

Этап 2.5.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{3} - 15 x^{2}) + 4 (37 x)$ .

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30) = 0$

Этап 2.5.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x) + 4 (- 30)$ .

$4 (2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30) = 0$

Этап 2.5.2

Разложим $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.5.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 30, \pm 15, \pm 2, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 10, \pm 5, \pm 2.5, \pm 6$

Этап 2.5.2.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2 \cdot 2^{3} - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Этап 2.5.2.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 \cdot 8 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Этап 2.5.2.3.3

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - 15 \cdot 2^{2} + 37 \cdot 2 - 30$

Этап 2.5.2.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 - 15 \cdot 4 + 37 \cdot 2 - 30$

Этап 2.5.2.3.5

Умножим $- 15$ на $4$ .

$16 - 60 + 37 \cdot 2 - 30$

Этап 2.5.2.3.6

Вычтем $60$ из $16$ .

$- 44 + 37 \cdot 2 - 30$

Этап 2.5.2.3.7

Умножим $37$ на $2$ .

$- 44 + 74 - 30$

Этап 2.5.2.3.8

Добавим $- 44$ и $74$ .

$30 - 30$

Этап 2.5.2.3.9

Вычтем $30$ из $30$ .

$0$

Этап 2.5.2.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30}{x - 2}$

Этап 2.5.2.5

Разделим $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$37 x$

$30$

Этап 2.5.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$

Этап 2.5.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 2.5.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 2.5.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Этап 2.5.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

Этап 2.5.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 11 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$

Этап 2.5.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$22 x$

Этап 2.5.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 11 x^{2} + 22 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$

Этап 2.5.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$

Этап 2.5.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 2.5.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 2.5.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 2.5.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 30$ .

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Этап 2.5.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$11 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$2 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$37 x$	-	$30$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$37 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$22 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

Этап 2.5.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - 11 x + 15$

Этап 2.5.2.6

Запишем $2 x^{3} - 15 x^{2} + 37 x - 30$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

Этап 2.5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 x$ .

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 11 x + 15)) = 0$

Этап 2.5.3.1.1.1.2

Запишем $- 11$ как $- 5$ плюс $- 6$

$4 ((x - 2) (2 x^{2} + (- 5 - 6) x + 15)) = 0$

Этап 2.5.3.1.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 ((x - 2) (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15)) = 0$

Этап 2.5.3.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$4 ((x - 2) ((2 x^{2} - 5 x) - 6 x + 15)) = 0$

Этап 2.5.3.1.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 ((x - 2) (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5))) = 0$

Этап 2.5.3.1.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 5$ .

$4 ((x - 2) ((2 x - 5) (x - 3))) = 0$

Этап 2.5.3.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 ((x - 2) (2 x - 5) (x - 3)) = 0$

Этап 2.5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 5.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 6

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 6.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 2) (2 x - 5) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, \frac{5}{2}, 3$

Десятичная форма:

$x = 2, 2.5, 3$

Форма смешанных чисел:

$x = 2, 2 \frac{1}{2}, 3$