Основы мат. анализа Примеры

${(8 x)}^{- 3} = 64$

Этап 1

Упростим ${(8 x)}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x)}^{3}} = 64$

Этап 1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило умножения к $8 x$ .

$\frac{1}{8^{3} x^{3}} = 64$

Этап 1.2.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} = 64$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$512 x^{3}, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$512 x^{3}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ умножим на $512 x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{512 x^{3}} = 64$ на $512 x^{3}$ .

$\frac{1}{512 x^{3}} (512 x^{3}) = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $512$ из $512 x^{3}$ .

$512 \frac{1}{512 (x^{3})} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$512 \frac{1}{512 x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 = 64 (512 x^{3})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $512$ на $64$ .

$1 = 32768 x^{3}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $32768 x^{3} = 1$ .

$32768 x^{3} = 1$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$32768 x^{3} - 1 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $32768 x^{3}$ в виде ${(32 x)}^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1 = 0$

Этап 4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(32 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 4.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 32 x$ и $b = 1$ .

$(32 x - 1) ({(32 x)}^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Применим правило умножения к $32 x$ .

$(32 x - 1) (32^{2} x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.3.4.2

Возведем $32$ в степень $2$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.3.4.3

Умножим $32$ на $1$ .

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1^{2}) = 0$

Этап 4.3.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$32 x - 1 = 0$

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $32 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $32 x - 1$ к $0$ .

$32 x - 1 = 0$

Этап 4.5.2

Решим $32 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$32 x = 1$

Этап 4.5.2.2

Разделим каждый член $32 x = 1$ на $32$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Разделим каждый член $32 x = 1$ на $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Этап 4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{32 x}{32} = \frac{1}{32}$

Этап 4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{32}$

Этап 4.6

Приравняем $1024 x^{2} + 32 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $1024 x^{2} + 32 x + 1$ к $0$ .

$1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Решим $1024 x^{2} + 32 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.6.2.2

Подставим значения $a = 1024$ , $b = 32$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (1024 \cdot 1)}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.1

Возведем $32$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 1024 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1024 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096 \cdot 1}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4096$ на $1$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4096}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.3

Вычтем $4096$ из $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 3072}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 3072$ в виде $- 1 (3072)$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3072}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3072)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{3072}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.7

Перепишем $3072$ в виде $32^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $1024$ из $3072$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{1024 (3)}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.7.2

Перепишем $1024$ в виде $32^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot \sqrt{32^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 32 \pm i \cdot (32 \sqrt{3})}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.1.9

Перенесем $32$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1024}$

Этап 4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$

Этап 4.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 32 \pm 32 i \sqrt{3}}{2048}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{64}$

Этап 4.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(32 x - 1) (1024 x^{2} + 32 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{32}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{64}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{64}$