Основы мат. анализа Примеры

${(2 x - 3)}^{\frac{2}{5}} = {(3 x)}^{\frac{1}{5}}$

Этап 1

Исключим дробные показатели степени, умножив и тот, и другой на НОЗ.

${({(2 x - 3)}^{\frac{2}{5}})}^{5} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - 3)}^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 3)}^{\frac{2}{5} \cdot 5} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 3)}^{2} = {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Этап 3

Упростим ${({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 3)}^{2} = {(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x - 3)}^{2} = {(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Этап 3.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x - 3)}^{2} = {(3 x)}^{1}$

Этап 3.2

Упростим.

${(2 x - 3)}^{2} = 3 x$

Этап 4

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

${(2 x - 3)}^{2} - 3 x = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем ${(2 x - 3)}^{2}$ в виде $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) (2 x - 3) - 3 x = 0$

Этап 4.2.2

Развернем $(2 x - 3) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3) - 3 x = 0$

Этап 4.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3) - 3 x = 0$

Этап 4.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.1.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.1.5

Умножим $2$ на $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9 - 3 x = 0$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 6 x$ .

$4 x^{2} - 12 x + 9 - 3 x = 0$

Этап 4.3

Вычтем $3 x$ из $- 12 x$ .

$4 x^{2} - 15 x + 9 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 x$ .

$4 x^{2} - 15 x + 9 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $- 15$ как $- 3$ плюс $- 12$

$4 x^{2} + (- 3 - 12) x + 9 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} - 3 x - 12 x + 9 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} - 3 x) - 12 x + 9 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 x - 3) - 3 (4 x - 3) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$(4 x - 3) (x - 3) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 7

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 7.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{4}, 3$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{4}, 3$

Десятичная форма:

$x = 0.75, 3$