Основы мат. анализа Примеры

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Перепишем ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ в виде $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.2

Развернем $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Умножим $\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.2

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.3.3

Добавим $\cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.4

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.5

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.6.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.1.6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 + \sin (2 x) - 1 = \sin (2 x)$

Этап 1.1.2

Объединим противоположные члены в $1 + \sin (2 x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + \sin (2 x) = \sin (2 x)$

Этап 1.1.2.2

Добавим $0$ и $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) = \sin (2 x)$

Этап 2

Перенесем все члены с $\sin (2 x)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $\sin (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) - \sin (2 x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $\sin (2 x)$ из $\sin (2 x)$ .

$0 = 0$

Этап 3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным для любого значения $x$ .

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$