Основы мат. анализа Примеры

$\log (t + 3) + \log (t) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((t + 3) t) = 1$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (t \cdot t + 3 t) = 1$

Этап 1.3

Умножим $t$ на $t$ .

$\log (t^{2} + 3 t) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log (t^{2} + 3 t) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = t^{2} + 3 t$

Этап 3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $t^{2} + 3 t = 10^{1}$ .

$t^{2} + 3 t = 10$

Этап 3.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$t^{2} + 3 t - 10 = 0$

Этап 3.3

Разложим $t^{2} + 3 t - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $3$ .

$- 2, 5$

Этап 3.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(t - 2) (t + 5) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t - 2 = 0$

$t + 5 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $t - 2$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $t - 2$ к $0$ .

$t - 2 = 0$

Этап 3.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$t = 2$

Этап 3.6

Приравняем $t + 5$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $t + 5$ к $0$ .

$t + 5 = 0$

Этап 3.6.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$t = - 5$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(t - 2) (t + 5) = 0$ верно.

$t = 2, - 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log (t + 3) + \log (t) = 1$ истинным.

$t = 2$