Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 t) = \sqrt{2} \cos (t)$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{2} \cos (t)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $2 \sin (t) \cos (t) - \sqrt{2} \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $2 \sin (t) \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) - \sqrt{2} \cos (t) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $- \sqrt{2} \cos (t)$ .

$\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2}) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\cos (t)$ из $\cos (t) (2 \sin (t)) + \cos (t) (- \sqrt{2})$ .

$\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (t) = 0$

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (t)$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (t)$ к $0$ .

$\cos (t) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (t) = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$t = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin (t) - \sqrt{2}$ к $0$ .

$2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin (t) - \sqrt{2} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $\sqrt{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin (t) = \sqrt{2}$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin (t) = \sqrt{2}$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$\sin (t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$t = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.6

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$t = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$t = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$t = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8

Период функции $\sin (t)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (t) (2 \sin (t) - \sqrt{2}) = 0$ верно.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$t = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$