Основы мат. анализа Примеры

$9 + \frac{4}{u - 2} = - \frac{2}{u - 1}$

Этап 1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{u - 2} = - \frac{2}{u - 1} - 9$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$u - 2, u - 1, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $u - 2$ является само значение $u - 2$ .

$(u - 2) = u - 2$

$(u - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $u - 1$ является само значение $u - 1$ .

$(u - 1) = u - 1$

$(u - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $u - 2, u - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(u - 2) (u - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4}{u - 2} = - \frac{2}{u - 1} - 9$ умножим на $(u - 2) (u - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{u - 2} = - \frac{2}{u - 1} - 9$ на $(u - 2) (u - 1)$ .

$\frac{4}{u - 2} ((u - 2) (u - 1)) = - \frac{2}{u - 1} ((u - 2) (u - 1)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $u - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{u - 2} ((u - 2) (u - 1)) = - \frac{2}{u - 1} ((u - 2) (u - 1)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (u - 1) = - \frac{2}{u - 1} ((u - 2) (u - 1)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u + 4 \cdot - 1 = - \frac{2}{u - 1} ((u - 2) (u - 1)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 u - 4 = - \frac{2}{u - 1} ((u - 2) (u - 1)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель $u - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{u - 1}$ в числитель.

$4 u - 4 = \frac{- 2}{u - 1} ((u - 2) (u - 1)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3.1.1.2

Вынесем множитель $u - 1$ из $(u - 2) (u - 1)$ .

$4 u - 4 = \frac{- 2}{u - 1} ((u - 1) (u - 2)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3.1.1.3

Сократим общий множитель.

$4 u - 4 = \frac{- 2}{u - 1} ((u - 1) (u - 2)) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3.1.1.4

Перепишем это выражение.

$4 u - 4 = - 2 (u - 2) - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u - 4 = - 2 u - 2 \cdot - 2 - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 ((u - 2) (u - 1))$

Этап 3.3.1.4

Развернем $(u - 2) (u - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u (u - 1) - 2 (u - 1))$

Этап 3.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 (u - 1))$

Этап 3.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u \cdot u + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u^{2} + u \cdot - 1 - 2 u - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $u$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u^{2} - 1 \cdot u - 2 u - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.1.3

Перепишем $- 1 u$ в виде $- u$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u^{2} - u - 2 u - 2 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u^{2} - u - 2 u + 2)$

Этап 3.3.1.5.2

Вычтем $2 u$ из $- u$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 (u^{2} - 3 u + 2)$

Этап 3.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 u^{2} - 9 (- 3 u) - 9 \cdot 2$

Этап 3.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $- 3$ на $- 9$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 u^{2} + 27 u - 9 \cdot 2$

Этап 3.3.1.7.2

Умножим $- 9$ на $2$ .

$4 u - 4 = - 2 u + 4 - 9 u^{2} + 27 u - 18$

Этап 3.3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $- 2 u$ и $27 u$ .

$4 u - 4 = 25 u + 4 - 9 u^{2} - 18$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $18$ из $4$ .

$4 u - 4 = 25 u - 9 u^{2} - 14$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $u$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$25 u - 9 u^{2} - 14 = 4 u - 4$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4 u$ из обеих частей уравнения.

$25 u - 9 u^{2} - 14 - 4 u = - 4$

Этап 4.2.2

Вычтем $4 u$ из $25 u$ .

$21 u - 9 u^{2} - 14 = - 4$

Этап 4.3

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$21 u - 9 u^{2} - 14 + 4 = 0$

Этап 4.4

Добавим $- 14$ и $4$ .

$21 u - 9 u^{2} - 10 = 0$

Этап 4.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $21 u - 9 u^{2} - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Изменим порядок $21 u$ и $- 9 u^{2}$ .

$- 9 u^{2} + 21 u - 10 = 0$

Этап 4.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) + 21 u - 10 = 0$

Этап 4.5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $21 u$ .

$- (9 u^{2}) - (- 21 u) - 10 = 0$

Этап 4.5.1.4

Перепишем $- 10$ в виде $- 1 (10)$ .

$- (9 u^{2}) - (- 21 u) - 1 \cdot 10 = 0$

Этап 4.5.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 u^{2}) - (- 21 u)$ .

$- (9 u^{2} - 21 u) - 1 \cdot 10 = 0$

Этап 4.5.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 u^{2} - 21 u) - 1 (10)$ .

$- (9 u^{2} - 21 u + 10) = 0$

Этап 4.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 10 = 90$ , а сумма — $b = - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 21$ из $- 21 u$ .

$- (9 u^{2} - 21 u + 10) = 0$

Этап 4.5.2.1.1.2

Запишем $- 21$ как $- 6$ плюс $- 15$

$- (9 u^{2} + (- 6 - 15) u + 10) = 0$

Этап 4.5.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (9 u^{2} - 6 u - 15 u + 10) = 0$

Этап 4.5.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((9 u^{2} - 6 u) - 15 u + 10) = 0$

Этап 4.5.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (3 u (3 u - 2) - 5 (3 u - 2)) = 0$

Этап 4.5.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 2$ .

$- ((3 u - 2) (3 u - 5)) = 0$

Этап 4.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 u - 2) (3 u - 5) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 u - 2 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $3 u - 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $3 u - 2$ к $0$ .

$3 u - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Решим $3 u - 2 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 2$

Этап 4.7.2.2

Разделим каждый член $3 u = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 2$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.7.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{2}{3}$

Этап 4.8

Приравняем $3 u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $3 u - 5$ к $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Этап 4.8.2

Решим $3 u - 5 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 u = 5$

Этап 4.8.2.2

Разделим каждый член $3 u = 5$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.1

Разделим каждый член $3 u = 5$ на $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Этап 4.8.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 u - 2) (3 u - 5) = 0$ верно.

$u = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$u = \frac{2}{3}, \frac{5}{3}$

Десятичная форма:

$u = 0.\overline{6}, 1.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$u = \frac{2}{3}, 1 \frac{2}{3}$