Основы мат. анализа Примеры

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 1

Заменим $\csc^{2} (u)$ на $\cot^{2} (u) + 1$ на основе тождества $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 2

Упорядочим многочлен.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Этап 3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.2

Переставляем члены.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.3

Применим формулу Пифагора.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Выразим $\csc (u)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.4

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.4.1

Добавим круглые скобки.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.4.2

Изменим порядок $\cos (u)$ и $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.4.3

Выразим $- \cos (u) \sec (u)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.4.4

Сократим общие множители.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.2.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ в виде ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.4.2.3

Переведем $\frac{1}{\sin (u)}$ в $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Этап 4

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем это уравнение абсолютного значения в виде четырех уравнений без знаков модуля.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Этап 5.2

После упрощения остается решить только два уникальных уравнения.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Этап 5.3

Решим $\cot (u) = \cot (u)$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Чтобы две функции были равны, аргументы каждой из них должны быть одинаковыми.

$u = u$

Этап 5.3.2

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $u$ из обеих частей уравнения.

$u - u = 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $u$ из $u$ .

$0 = 0$

Этап 5.3.3

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Все вещественные числа

Этап 5.4

Решим $\cot (u) = - \cot (u)$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $\cot (u)$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $\cot (u)$ к обеим частям уравнения.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Этап 5.4.1.2

Добавим $\cot (u)$ и $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $2 \cot (u) = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $2 \cot (u) = 0$ на $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $\cot (u)$ на $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$\cot (u) = 0$

Этап 5.4.3

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $u$ из котангенса.

$u = arccot (0)$

Этап 5.4.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Точное значение $arccot (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Этап 5.4.5

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$u = π + \frac{π}{2}$

Этап 5.4.6

Упростим $π + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.4.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.4.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Этап 5.4.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Этап 5.4.6.3.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.4.7

Найдем период $\cot (u)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.4.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.4.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4.7.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.4.8

Период функции $\cot (u)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$