Основы мат. анализа Примеры

$- \frac{40}{u^{2} - 5 u + 4} = - \frac{2 u}{u - 4}$

Этап 1

Разложим $u^{2} - 5 u + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- \frac{40}{(u - 4) (u - 1)} = - \frac{2 u}{u - 4}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(u - 4) (u - 1), u - 4$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $u - 4$ является само значение $u - 4$ .

$(u - 4) = u - 4$

$(u - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $u - 1$ является само значение $u - 1$ .

$(u - 1) = u - 1$

$(u - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $u - 4$ является само значение $u - 4$ .

$(u - 4) = u - 4$

$(u - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $u - 4, u - 1, u - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(u - 4) (u - 1)$

Этап 3

Каждый член в $- \frac{40}{(u - 4) (u - 1)} = - \frac{2 u}{u - 4}$ умножим на $(u - 4) (u - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $- \frac{40}{(u - 4) (u - 1)} = - \frac{2 u}{u - 4}$ на $(u - 4) (u - 1)$ .

$- \frac{40}{(u - 4) (u - 1)} ((u - 4) (u - 1)) = - \frac{2 u}{u - 4} ((u - 4) (u - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $(u - 4) (u - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{40}{(u - 4) (u - 1)}$ в числитель.

$\frac{- 40}{(u - 4) (u - 1)} ((u - 4) (u - 1)) = - \frac{2 u}{u - 4} ((u - 4) (u - 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 40}{(u - 4) (u - 1)} ((u - 4) (u - 1)) = - \frac{2 u}{u - 4} ((u - 4) (u - 1))$

Этап 3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 40 = - \frac{2 u}{u - 4} ((u - 4) (u - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $u - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 u}{u - 4}$ в числитель.

$- 40 = \frac{- 2 u}{u - 4} ((u - 4) (u - 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- 40 = \frac{- 2 u}{u - 4} ((u - 4) (u - 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- 40 = - 2 u (u - 1)$

Этап 3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 40 = - 2 u \cdot u - 2 u \cdot - 1$

Этап 3.3.3

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Перенесем $u$ .

$- 40 = - 2 (u \cdot u) - 2 u \cdot - 1$

Этап 3.3.3.2

Умножим $u$ на $u$ .

$- 40 = - 2 u^{2} - 2 u \cdot - 1$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 40 = - 2 u^{2} + 2 u$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 u^{2} + 2 u = - 40$ .

$- 2 u^{2} + 2 u = - 40$

Этап 4.2

Добавим $40$ к обеим частям уравнения.

$- 2 u^{2} + 2 u + 40 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u^{2} + 2 u + 40$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u^{2}$ .

$- 2 u^{2} + 2 u + 40 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем множитель $- 2$ из $2 u$ .

$- 2 u^{2} - 2 (- u) + 40 = 0$

Этап 4.3.1.3

Вынесем множитель $- 2$ из $40$ .

$- 2 u^{2} - 2 (- u) - 2 \cdot - 20 = 0$

Этап 4.3.1.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (u^{2} - u) - 2 \cdot - 20 = 0$

Этап 4.3.1.5

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (u^{2} - u) - 2 (- 20)$ .

$- 2 (u^{2} - u - 20) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разложим $u^{2} - u - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $- 1$ .

$- 5, 4$

Этап 4.3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 ((u - 5) (u + 4)) = 0$

Этап 4.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (u - 5) (u + 4) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 5 = 0$

$u + 4 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 4.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 4.6

Приравняем $u + 4$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $u + 4$ к $0$ .

$u + 4 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$u = - 4$

Этап 4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 2 (u - 5) (u + 4) = 0$ верно.

$u = 5, - 4$