Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = v$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.7

Множителем $v - 1$ является само значение $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множителем $v + 1$ является само значение $v + 1$ .

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.9

Множителем $v - 1$ является само значение $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.10

НОК $v - 1, v + 1, v - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(v - 1) (v + 1)$

Этап 2.11

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$4 (v - 1) (v + 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ умножим на $4 (v - 1) (v + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ на $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.6

Умножим $2$ на $1$ .

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.8

Умножим $4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Объединим $4$ и $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.9

Сократим общий множитель $(v - 1) (v + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.9.1

Вынесем множитель $(v - 1) (v + 1)$ из $(v + 1) (v - 1)$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.9.2

Сократим общий множитель.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.1.9.3

Перепишем это выражение.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $12$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

Этап 3.3.2

Развернем $(v - 1) (v + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

Этап 3.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

Этап 3.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим противоположные члены в $v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $v \cdot 1$ и $- 1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.2

Вычтем $1 v$ из $1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.3

Добавим $v \cdot v$ и $0$ .

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $v$ на $v$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 3.3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $v^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

Этап 4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

Этап 4.3

Добавим $14$ и $1$ .

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

Этап 4.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $2 v - v^{2} + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Изменим порядок $2 v$ и $- v^{2}$ .

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

Этап 4.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- v^{2}$ .

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

Этап 4.4.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 v$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

Этап 4.4.1.4

Перепишем $15$ в виде $- 1 (- 15)$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Этап 4.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (v^{2}) - (- 2 v)$ .

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Этап 4.4.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ .

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

Этап 4.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разложим $v^{2} - 2 v - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 4.4.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

Этап 4.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $v - 5$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $v - 5$ к $0$ .

$v - 5 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$v = 5$

Этап 4.7

Приравняем $v + 3$ к $0$ , затем решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $v + 3$ к $0$ .

$v + 3 = 0$

Этап 4.7.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$v = - 3$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (v - 5) (v + 3) = 0$ верно.

$v = 5, - 3$