Основы мат. анализа Примеры

$(\tan (x) + \sqrt{3}) (\sec (x) - 2) = 0$

Этап 1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} = 0$

$\sec (x) - 2 = 0$

Этап 2

Приравняем $\tan (x) + \sqrt{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $\tan (x) + \sqrt{3}$ к $0$ .

$\tan (x) + \sqrt{3} = 0$

Этап 2.2

Решим $\tan (x) + \sqrt{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Этап 2.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Точное значение $\arctan (- \sqrt{3})$ : $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Этап 2.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Этап 2.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Этап 2.2.5.2

Результирующий угол $\frac{2 π}{3}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{3} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 2.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{3}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{3} + π$

Этап 2.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 2.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 2.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.4.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 2.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 2.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 2.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Приравняем $\sec (x) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $\sec (x) - 2$ к $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Этап 3.2

Решим $\sec (x) - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\sec (x) = 2$

Этап 3.2.2

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (2)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 3.2.4

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.5

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 3.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 3.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 3.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 3.2.6

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.2.7

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (x) + \sqrt{3}) (\sec (x) - 2) = 0$ верно.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Объединим $\frac{2 π}{3} + π n$ и $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ в $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$