Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{5 w + 6} - w = 2$

Этап 1

Добавим $w$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{5 w + 6} = 2 + w$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{5 w + 6}}^{2} = {(2 + w)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 w + 6}$ в виде ${(5 w + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(5 w + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 + w)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(5 w + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(5 w + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(5 w + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + w)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(5 w + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 + w)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(5 w + 6)}^{1} = {(2 + w)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$5 w + 6 = {(2 + w)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(2 + w)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(2 + w)}^{2}$ в виде $(2 + w) (2 + w)$ .

$5 w + 6 = (2 + w) (2 + w)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(2 + w) (2 + w)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 w + 6 = 2 (2 + w) + w (2 + w)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 w + 6 = 2 \cdot 2 + 2 w + w (2 + w)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 w + 6 = 2 \cdot 2 + 2 w + w \cdot 2 + w \cdot w$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$5 w + 6 = 4 + 2 w + w \cdot 2 + w \cdot w$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $w$ .

$5 w + 6 = 4 + 2 w + 2 \cdot w + w \cdot w$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $w$ на $w$ .

$5 w + 6 = 4 + 2 w + 2 w + w^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $2 w$ и $2 w$ .

$5 w + 6 = 4 + 4 w + w^{2}$

Этап 4

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $w$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 + 4 w + w^{2} = 5 w + 6$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $w$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $5 w$ из обеих частей уравнения.

$4 + 4 w + w^{2} - 5 w = 6$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 w$ из $4 w$ .

$4 + w^{2} - w = 6$

Этап 4.3

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$4 + w^{2} - w - 6 = 0$

Этап 4.4

Вычтем $6$ из $4$ .

$w^{2} - w - 2 = 0$

Этап 4.5

Разложим $w^{2} - w - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 4.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(w - 2) (w + 1) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$w - 2 = 0$

$w + 1 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $w - 2$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $w - 2$ к $0$ .

$w - 2 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$w = 2$

Этап 4.8

Приравняем $w + 1$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $w + 1$ к $0$ .

$w + 1 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$w = - 1$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(w - 2) (w + 1) = 0$ верно.

$w = 2, - 1$