Основы мат. анализа Примеры

$(3^{4}) (5^{3 x - 2}) = (2^{5 - 2 x}) (7^{3})$

Этап 1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{4} \cdot 5^{3 x - 2}) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Этап 2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (3^{4} \cdot 5^{3 x - 2})$ в виде $\ln (3^{4}) + \ln (5^{3 x - 2})$ .

$\ln (3^{4}) + \ln (5^{3 x - 2}) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Этап 2.2

Развернем $\ln (3^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$4 \ln (3) + \ln (5^{3 x - 2}) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Этап 2.3

Развернем $\ln (5^{3 x - 2})$ , вынося $3 x - 2$ из логарифма.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = \ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$

Этап 3

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $\ln (2^{5 - 2 x} \cdot 7^{3})$ в виде $\ln (2^{5 - 2 x}) + \ln (7^{3})$ .

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = \ln (2^{5 - 2 x}) + \ln (7^{3})$

Этап 3.2

Развернем $\ln (2^{5 - 2 x})$ , вынося $5 - 2 x$ из логарифма.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = (5 - 2 x) \ln (2) + \ln (7^{3})$

Этап 3.3

Развернем $\ln (7^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$4 \ln (3) + (3 x - 2) \ln (5) = (5 - 2 x) \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \ln (3) + 3 x \ln (5) - 2 \ln (5) = (5 - 2 x) \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \ln (3) + 3 x \ln (5) - 2 \ln (5) = 5 \ln (2) - 2 x \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 6

Изменим порядок $4 \ln (3)$ и $3 x \ln (5)$ .

$3 x \ln (5) + 4 \ln (3) - 2 \ln (5) = 5 \ln (2) - 2 x \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 7

Изменим порядок $5 \ln (2)$ и $- 2 x \ln (2)$ .

$3 x \ln (5) + 4 \ln (3) - 2 \ln (5) = - 2 x \ln (2) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 8

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 x \ln (5) + 4 \ln (3) - 2 \ln (5) + 2 x \ln (2) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7) = 0$

Этап 9

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычтем $4 \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$3 x \ln (5) - 2 \ln (5) + 2 x \ln (2) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7) = - 4 \ln (3)$

Этап 9.2

Добавим $2 \ln (5)$ к обеим частям уравнения.

$3 x \ln (5) + 2 x \ln (2) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5)$

Этап 9.3

Добавим $5 \ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$3 x \ln (5) + 2 x \ln (2) - 3 \ln (7) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2)$

Этап 9.4

Добавим $3 \ln (7)$ к обеим частям уравнения.

$3 x \ln (5) + 2 x \ln (2) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 10

Вынесем множитель $x$ из $3 x \ln (5) + 2 x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x \ln (5)$ .

$x (3 \ln (5)) + 2 x \ln (2) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 10.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x \ln (2)$ .

$x (3 \ln (5)) + x (2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 10.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 \ln (5)) + x (2 \ln (2))$ .

$x (3 \ln (5) + 2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$

Этап 11

Разделим каждый член $x (3 \ln (5) + 2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$ на $3 \ln (5) + 2 \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разделим каждый член $x (3 \ln (5) + 2 \ln (2)) = - 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)$ на $3 \ln (5) + 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (3 \ln (5) + 2 \ln (2))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (3)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $3 \ln (5) + 2 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 11.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \ln (3)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 \ln (3)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 4 \ln (3) + 2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \ln (3) + 2 \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5)$ .

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3) + \ln (5))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3) + \ln (5)) + 5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 (- 2 \ln (3)) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.2.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$x = \frac{- 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 4 \ln (3) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3)) + 2 \ln (5) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \ln (5)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3)) - (- 2 \ln (5)) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 \ln (3)) - (- 2 \ln (5))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5)) + 5 \ln (2) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $5 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5)) - (- 5 \ln (2)) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 \ln (3) - 2 \ln (5)) - (- 5 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2)) + 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \ln (7)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2)) - (- 3 \ln (7))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2)) - (- 3 \ln (7))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.3.9.1

Перепишем $- (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))$ в виде $- 1 (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7))}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 11.3.3.9.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{4 \ln (3) - 2 \ln (5) - 5 \ln (2) - 3 \ln (7)}{3 \ln (5) + 2 \ln (2)}$

Десятичная форма:

$x = 1.30786895 \dots$