Основы мат. анализа Примеры

$w = \frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2} = w$

Этап 2

Умножим обе части на $2$ .

$\frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2} \cdot 2 = w \cdot 2$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2} \cdot 2 = w \cdot 2$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{1 - 3 w} = w \cdot 2$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем $2$ влево от $w$ .

$\sqrt{1 - 3 w} = 2 w$

Этап 4

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{1 - 3 w}}^{2} = {(2 w)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 3 w}$ в виде ${(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 w)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 w)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(1 - 3 w)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 w)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(1 - 3 w)}^{1} = {(2 w)}^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$1 - 3 w = {(2 w)}^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим ${(2 w)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Применим правило умножения к $2 w$ .

$1 - 3 w = 2^{2} w^{2}$

Этап 4.2.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$1 - 3 w = 4 w^{2}$

Этап 4.3

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $4 w^{2}$ из обеих частей уравнения.

$1 - 3 w - 4 w^{2} = 0$

Этап 4.3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $1 - 3 w - 4 w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Перенесем $1$ .

$- 3 w - 4 w^{2} + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.1.2

Изменим порядок $- 3 w$ и $- 4 w^{2}$ .

$- 4 w^{2} - 3 w + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 w^{2}$ .

$- (4 w^{2}) - 3 w + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 w$ .

$- (4 w^{2}) - (3 w) + 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.4

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (4 w^{2}) - (3 w) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 w^{2}) - (3 w)$ .

$- (4 w^{2} + 3 w) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 4.3.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 w^{2} + 3 w) - 1 (- 1)$ .

$- (4 w^{2} + 3 w - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 w$ .

$- (4 w^{2} + 3 (w) - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$- (4 w^{2} + (- 1 + 4) w - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 w^{2} - 1 w + 4 w - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((4 w^{2} - 1 w) + 4 w - 1) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (w (4 w - 1) + 1 (4 w - 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 w - 1$ .

$- ((4 w - 1) (w + 1)) = 0$

Этап 4.3.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (4 w - 1) (w + 1) = 0$

Этап 4.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 w - 1 = 0$

$w + 1 = 0$

Этап 4.3.4

Приравняем $4 w - 1$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Приравняем $4 w - 1$ к $0$ .

$4 w - 1 = 0$

Этап 4.3.4.2

Решим $4 w - 1 = 0$ относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 w = 1$

Этап 4.3.4.2.2

Разделим каждый член $4 w = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 w = 1$ на $4$ .

$\frac{4 w}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 w}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.4.2.2.2.1.2

Разделим $w$ на $1$ .

$w = \frac{1}{4}$

Этап 4.3.5

Приравняем $w + 1$ к $0$ , затем решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Приравняем $w + 1$ к $0$ .

$w + 1 = 0$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$w = - 1$

Этап 4.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (4 w - 1) (w + 1) = 0$ верно.

$w = \frac{1}{4}, - 1$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $w = \frac{\sqrt{1 - 3 w}}{2}$ истинным.

$w = \frac{1}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$w = \frac{1}{4}$

Десятичная форма:

$w = 0.25$