Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (s + 45) - \log_{3} (s + 5) = \log_{3} (s)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{s + 45}{s + 5}) = \log_{3} (s)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$\frac{s + 45}{s + 5} = s$

Этап 3

Решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$s + 5, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$s + 5, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$s + 5$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{s + 45}{s + 5} = s$ умножим на $s + 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{s + 45}{s + 5} = s$ на $s + 5$ .

$\frac{s + 45}{s + 5} (s + 5) = s (s + 5)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $s + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{s + 45}{s + 5} (s + 5) = s (s + 5)$

Этап 3.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$s + 45 = s (s + 5)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$s + 45 = s \cdot s + s \cdot 5$

Этап 3.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Умножим $s$ на $s$ .

$s + 45 = s^{2} + s \cdot 5$

Этап 3.2.3.2.2

Перенесем $5$ влево от $s$ .

$s + 45 = s^{2} + 5 s$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $s$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$s^{2} + 5 s = s + 45$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с $s$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $s$ из обеих частей уравнения.

$s^{2} + 5 s - s = 45$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $s$ из $5 s$ .

$s^{2} + 4 s = 45$

Этап 3.3.3

Вычтем $45$ из обеих частей уравнения.

$s^{2} + 4 s - 45 = 0$

Этап 3.3.4

Разложим $s^{2} + 4 s - 45$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 45$ , а сумма — $4$ .

$- 5, 9$

Этап 3.3.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(s - 5) (s + 9) = 0$

Этап 3.3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$s - 5 = 0$

$s + 9 = 0$

Этап 3.3.6

Приравняем $s - 5$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Приравняем $s - 5$ к $0$ .

$s - 5 = 0$

Этап 3.3.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$s = 5$

Этап 3.3.7

Приравняем $s + 9$ к $0$ , затем решим относительно $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Приравняем $s + 9$ к $0$ .

$s + 9 = 0$

Этап 3.3.7.2

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$s = - 9$

Этап 3.3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(s - 5) (s + 9) = 0$ верно.

$s = 5, - 9$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (s + 45) - \log_{3} (s + 5) = \log_{3} (s)$ истинным.

$s = 5$