Основы мат. анализа Примеры

$A = 2 p r (r + h)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $2 p r (r + h) = A$ .

$2 p r (r + h) = A$

Этап 2

Упростим $2 p r (r + h)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 p r \cdot r + 2 p r h = A$

Этап 2.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $r$ .

$2 p (r \cdot r) + 2 p r h = A$

Этап 2.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$2 p r^{2} + 2 p r h = A$

Этап 3

Вычтем $A$ из обеих частей уравнения.

$2 p r^{2} + 2 p r h - A = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 2 p$ , $b = 2 p h$ и $c = - A$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $r$ .

$\frac{- 2 p h \pm \sqrt{{(2 p h)}^{2} - 4 \cdot (2 p \cdot (- A))}}{2 (2 p)}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим круглые скобки.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{{(2 (p h))}^{2} - 4 \cdot (2 (p \cdot (- A)))}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.2

Пусть $u = 2 (p \cdot (- A))$ . Подставим $u$ вместо $2 (p \cdot (- A))$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Применим правило умножения к $2 p h$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{{(2 p)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.2.1.2

Применим правило умножения к $2 p$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{2^{2} p^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 p^{2} h^{2} - 4 u}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 p^{2} h^{2} - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $4 p^{2} h^{2}$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (p^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - u)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $2 (p \cdot (- A))$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - (2 (p \cdot (- A))))}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - (2 (- p A)))}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} - (- 2 (p A)))}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.5.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p^{2} h^{2} + 2 p A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.6

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} h^{2} + 2 p A$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Вынесем множитель $p$ из $p^{2} h^{2}$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p (p h^{2}) + 2 p A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.6.2

Вынесем множитель $p$ из $2 p A$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p (p h^{2}) + p (2 A))}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.6.3

Вынесем множитель $p$ из $p (p h^{2}) + p (2 A)$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 (p (p h^{2} + 2 A))}}{2 \cdot (2 p)}$

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{4 p (p h^{2} + 2 A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.7

Перепишем $4 p (p h^{2} + 2 A)$ в виде $2^{2} (p (p h^{2} + 2 A))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{2^{2} p (p h^{2} + 2 A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.7.2

Добавим круглые скобки.

$r = \frac{- 2 p h \pm \sqrt{2^{2} (p (p h^{2} + 2 A))}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{- 2 p h \pm 2 \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 \cdot (2 p)}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$r = \frac{- 2 p h \pm 2 \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{4 p}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{- 2 p h \pm 2 \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{4 p}$ .

$r = \frac{- p h \pm \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 p}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$r = - \frac{p h - \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 p}$

$r = - \frac{p h + \sqrt{p (p h^{2} + 2 A)}}{2 p}$