Основы мат. анализа Примеры

$p = \frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(r + R)}^{2}, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

${(r + R)}^{2}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ умножим на ${(r + R)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} = p$ на ${(r + R)}^{2}$ .

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель ${(r + R)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a^{2} R}{{(r + R)}^{2}} {(r + R)}^{2} = p {(r + R)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$a^{2} R = p {(r + R)}^{2}$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $p {(r + R)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(r + R)}^{2}$ в виде $(r + R) (r + R)$ .

$a^{2} R = p ((r + R) (r + R))$

Этап 4.1.2

Развернем $(r + R) (r + R)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} R = p (r (r + R) + R (r + R))$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R (r + R))$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} R = p (r \cdot r + r R + R r + R \cdot R)$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $r$ на $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R \cdot R)$

Этап 4.1.3.1.2

Умножим $R$ на $R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + R r + R^{2})$

Этап 4.1.3.2

Добавим $r R$ и $R r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Изменим порядок $R$ и $r$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + r R + r R + R^{2})$

Этап 4.1.3.2.2

Добавим $r R$ и $r R$ .

$a^{2} R = p (r^{2} + 2 r R + R^{2})$

Этап 4.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$a^{2} R = p r^{2} + p (2 r R) + p R^{2}$

Этап 4.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$a^{2} R = p r^{2} + 2 p r R + p R^{2}$

Этап 4.2

Поскольку $R$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} = a^{2} R$

Этап 4.3

Вычтем $a^{2} R$ из обеих частей уравнения.

$p r^{2} + 2 p r R + p R^{2} - a^{2} R = 0$

Этап 4.4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.5

Подставим значения $a = p$ , $b = 2 p r - a^{2}$ и $c = p r^{2}$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $R$ .

$\frac{- (2 p r - a^{2}) \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (p \cdot (p r^{2}))}}{2 p}$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$R = \frac{- (2 p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Этап 4.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Этап 4.6.3

Умножим $- - a^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Этап 4.6.3.2

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$R = \frac{- 2 (p r) + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - 4 \cdot p \cdot (p r^{2})}}{2 p}$

Этап 4.6.4

Перепишем $4 \cdot p \cdot (p r^{2})$ в виде ${(2 p r)}^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{{(2 p r - a^{2})}^{2} - {(2 p r)}^{2}}}{2 p}$

Этап 4.6.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 p r - a^{2}$ и $b = 2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(2 p r - a^{2} + 2 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Этап 4.6.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.6.1

Добавим $2 p r$ и $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - (2 p r))}}{2 p}$

Этап 4.6.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (2 p r - a^{2} - 2 (p r))}}{2 p}$

Этап 4.6.6.3

Вычтем $2 p r$ из $2 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) (- a^{2} + 0)}}{2 p}$

Этап 4.6.6.4

Добавим $- a^{2}$ и $0$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{(- a^{2} + 4 p r) \cdot (- 1 a^{2})}}{2 p}$

Этап 4.6.6.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- ((- a^{2} + 4 p r) a^{2})}}{2 p}$

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}}}{2 p}$

Этап 4.6.7

Перепишем $- (- a^{2} + 4 p r) a^{2}$ в виде $a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.7.1

Перенесем $- a^{2} + 4 p r$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{- 1 a^{2} (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Этап 4.6.7.2

Изменим порядок $- 1$ и $a^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 4 p r))}}{2 p}$

Этап 4.6.7.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Этап 4.6.7.4

Добавим круглые скобки.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- (- a^{2} + 2^{2} p r))}}{2 p}$

Этап 4.6.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 2^{2} p r)}}{2 p}$

Этап 4.6.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$R = \frac{- 2 p r + a^{2} \pm a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

Этап 4.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} - a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$

$R = - \frac{2 p r - a^{2} + a \sqrt{- (- a^{2} + 4 p r)}}{2 p}$